ナコ さん、ご質問ならびに当サイトをご利用いただき、誠にありがとうございました。
当サイトの一括見積もりサービスをご利用いただいて、最終的にどちらの業者さんにお任せになってのかはわかりませんが、毛布での梱包ならどこでも大差はないと思います。
梱包方法は、毛布を地面に広げ、梱包する品物をその上におき、包み、ガムテープでとめれば完了です。
私が在籍していた会社でも、毛布梱包はよくしておりましたが、中身が飛び出るというようなことはありませんでした。
もちろん、隙間から出てくるような小さな物は、何回か飛び出したことはありましたが、毛布梱包の外に飛び出るようなことはありませんので、ご安心ください。
もし、何か無くなっているようであれば、引越しを担当してくれた作業者本人に確認された方がいいと思います。
時間が経てばたつほど、作業者の記憶も薄れていきますので、早く行動された方がいいでしょう。